Tassi equivalenti in regime di capitalizzazione composta

Si definisce regime di capitalizzazione (o finanziario) l'insieme dei principi e delle convenzioni che regolano lo svolgimento delle operazioni finanziarie, vale a dire quelle operazioni che presuppongono l'impiego di un capitale (non necessariamente una somma di denaro, ma qualcosa di esprimibile numericamente con il denaro).

Fondamentale presupposto è che l'uso del denaro per un determinato periodo di tempo ha un prezzo, anche se in matematica finanziaria non ha senso fare il confronto diretto tra due capitali: se il capitale A è di 50.000 euro ed il capitale B è di 10.000 euro, non ha senso dire che il capitale A è maggiore del capitale B; lo ha solo se, ad esempio, si riferiscono i due capitali al momento attuale (valuta).

Nei contratti che vengono stipulati con gli istituti di credito viene stabilito il regime di capitalizzazione a cui fare riferimento ed il compenso per il capitale prestato; la misura di tale compenso è regolata dal tasso unitario di interesse, definito come la misura del compenso relativo ad una unità di capitale riferita ad una unità di tempo. Il periodo di riferimento del tasso è definito come l'unità di tempo cui si riferisce il tasso unitario, mentre il periodo di impiego rappresenta la durata dell'operazione che deve essere effettuata. Infine, il periodo di capitalizzazione indica il periodo di tempo al termine del quale è disponibile l'interesse, così definito perché se l'interesse non viene pagato diventa capitale, producendo a sua volta interessi.

Nel regime di capitalizzazione semplice il periodo di capitalizzazione coincide con il periodo di impiego. Questo comporta il fatto che gli interessi non vengono mai capitalizzati e sono disponibili solo alla fine dell'operazione. Nella pratica, questo regime di capitalizzazione è poco utilizzato e solo per periodi brevi di tempo, generalmente inferiori all'anno.

Molto diffuso è invece il regime di capitalizzazione composta, nel quale il periodo di capitalizzazione è minore del periodo di impiego, per cui gli interessi si capitalizzano ogni volta che termina un periodo di capitalizzazione all'interno del periodo di impiego. A titolo di precisazione, occorre dire che se il periodo di impiego è un multiplo del periodo di capitalizzazione, si segue il regime di capitalizzazione composta. Se il periodo di impiego non è un multiplo del periodo di capitalizzazione, si segue il regime di capitalizzazione mista.

Relativamente al tasso d'interesse, si definisce tasso di interesse effettivo quel tasso nel quale il periodo di capitalizzazione coincide con quello di riferimento e si definisce tasso di interesse nominale quel tasso per il quale questa coincidenza non si verifica. Il tasso effettivo relativo ad 1/k di anno si indica con i_k. Ad esempio, i₂ = 0,04 indica che il tasso di interesse effettivo è relativo ad 1/2 di anno, vale a dire ad un semestre. Con j_k si indica il tasso annuo nominale convertibile k volte. In questo tasso, il periodo di riferimento è l'anno, ma il periodo di capitalizzazione è 1/k di anno; l'interesse che si rende disponibile è 1/k del tasso.

In definitiva, con i si indica il tasso annuo effettivo, con i_k il tasso effettivo relativo ad 1/k di anno e con j_k il tasso annuo nominale convertibile k volte (divisibile k volte).

Due tassi effettivi si dicono equivalenti se applicati allo stesso capitale per lo stesso periodo di tempo forniscono lo stesso montante (valore equivalente del capitale ad un tempo posteriore alla sua valuta).

Le relazioni esistenti tra i, i_k e j_k sono le seguenti (vedi il formulario):

(1) i = (1 + i_k)^k - 1

(2) i_k = (1 + i)^1/k - 1

(3) j_k = k*i_k

Queste relazioni sono utili per determinare il tasso equivalente di alcune operazioni, come nel caso ad esempio di sottoscrizione di un contratto di mutuo con un istituto di credito per il quale sia indicato un tasso annuo effettivo (ad esempio, 4,5%) ed una rata semestrale.

Sulla base di quanto in precedenza indicato, possiamo dire che i = 0,045 e k = 2 (un semestre è uguale a metà anno). Operando in regime di capitalizzazione composta non è possibile affermare che i_k = i₂ = i / 2 = 0,045 / 2 = 0,0225, ma dovremo applicare la formula (2) con i = 0,045 e k = 2:

i_k = (1 + i)^1/k - 1 ==>

i₂ = (1 + 0,045)^1/2 - 1 ==>

i₂ = 0,0222524

In regime di capitalizzazione composta, il tasso annuo effettivo del 4,5% equivale quindi ad un tasso semestrale del 2,22524% (inferiore alla metà del tasso noto, dato che come si è detto il periodo di capitalizzazione è minore del periodo di impiego).

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Nota: il contenuto del documento deve essere interpretato in relazione al periodo in cui è stato redatto.

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